Bonjour aider moi a tracer la courbe de f

Réponse :

soit  { f (x) = x ln x - x     si  x > 0

       { f(0) = 0  

1) étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0

pour étudier la continuité de f en 0, consiste à étudier la lim f(x)

                                                                                                x→0

pour  x > 0 on a;  f(x) = x ln x - x

sachant que lim x ln x = 0

                     x→0

                      x > 0

donc  lim x ln x - x = 0

          x→0

or on a, f(0) = 0   donc  lim f(x) = f(0)   c'est è dire que f  est continue en 0

                                      x→0

on a  lim f(x) = 0 = f(0), on peut donc étudier la dérivabilité de f en 0

        x→0

donc cherchons  lim  (f(x) - f(0))/(x - 0)

                             x→0

                             x > 0

        on a, (f(x) - f(0))/(x - 0) = (x ln x - x)/x = x(ln x - 1)/x = ln x - 1

on sait que la lim ln x = - ∞  donc  lim (f(x) - f(0))/(x - 0) = - ∞

                       x→0                          x→0

                       x > 0                         x > 0  

puisque cette limite n'est pas finie, on en déduit que f n'est pas dérivable en 0

2) étudier les variations de f

   calculons  f '(x) = ln x + x *1/x  - 1  = ln x

          x    0                                  + ∞

        f(x)    0 →→→→→→→→→→→→→→ + ∞

                        croissante

Explications étape par étape