Bonjour j’aurais besoin d’aide pour une démonstration par récurrence j’ai essayé quelque chose mais je bloque

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

Initialisation

[tex]\\\displaystyle \prod_{k=2}^n(1-\dfrac{1}{k^2} )=\dfrac{n+1}{2n} \\\\Si\ n=2\ alors\ 1-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{3}{4} =\dfrac{2+1}{2*2} \\\\H\' er\' edit\' e:\\\\\displaystyle \prod_{k=2}^{n+1}(1-\dfrac{1}{k^2} )=\prod_{k=2}^{n}(1-\dfrac{1}{k^2} )*(1-\dfrac{1}{(n+1)^2} )\\\\\\=\dfrac{n+1}{2n}*\dfrac{n^2+2n+1-1}{(n+1)^2} \\\\=\dfrac{1}{2n}*\dfrac{n(n+2)}{(n+1)} \\\\\\=\dfrac{(n+1)+1}{2(n+1)}[/tex]