Bonjour je suis bloqué a la démonstration d’une suite par recurence: demontrer que pour tout n appartenant au N 1/2+1/4+1/6...1/2n

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour,

[tex]Hr = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} ... + \frac{1}{2n} < \frac{n}{2} [/tex]

initialisation : pour n = 1

[tex] \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2} [/tex]

La propriété est vraie au rang 1

Hérédité : Supposons que pour un rang n donné Pn est vrai, Montrons que le rang Pn+1 l'est aussi :

[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} \leqslant \frac{n}{2} [/tex]

[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n + 2} \leqslant \frac{n}{2} + \frac{1}{2n + 2} [/tex]

[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n + 2} \leqslant \frac{n}{2} + \frac{1}{2(n + 1)} [/tex]

Or sur N* on sait que :

[tex] \frac{n}{2} + \frac{1}{2n + 2} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2(n + 1)} \leqslant \frac{n}{2} + \frac{1}{2} = \frac{n + 1}{2} [/tex]

Ainsi on a donc :

[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n + 2} \leqslant \frac{n}{2} + \frac{1}{2(n + 1)} \leqslant \frac{n + 1}{2} [/tex]

On en déduit ainsi que :

[tex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n + 2} \leqslant \frac{n + 1}{2} [/tex]

Conclusion : P1 => Vraie et Pn => Pn+1

La propriété est vraie pour tout rang n