Bonjour Etant donné le bon niveau de ceux qui résolvent les problèmes proposés, en voici un autre[tex]\\[/tex] Trouvez tous les entiers (x;y) tel que [tex]x^3-4

Réponse :

Bon, on a déjà un couple de solutions : (-1, -6), merci au camarade qui l'a trouvé.

Notre équation s'écrira donc :

(x^3 +1) -4 (y+6) = 0.

On peut se payer le luxe de factoriser x^3 +1 :

(x+1)(x²-x+1) = 4 (y+6)

A présent, passons aux choses sérieuses ! Il suffit de trouver les valeurs de x, les valeurs de y s'en déduisent facilement.

Déjà, on sait que 4 divise le produit (x+1)(x²-x+1). Or x²-x+1 est impair (car x² est congru à x modulo 2), donc premier avec 4. Ce qui veut dire que 4 divise x+1.

Et de fait on aura y+6 qui vaudra 1/4 (x+1)(x²-x+1).

Arrêtons là l'analyse et faisons une synthèse.

Maintenant soit n un entier naturel, posons x = 4n-1 et y tel que y+6 = 1/4 (x+1)(x²-x+1).

y est bien entier (puisque 4 divise x+1), et si on fait le calcul,

x^3-4y = x^3 - 4 [1/4 (x+1)(x²-x+1) -6] = x^3 -(x^3+1) +24 = 23.

Donc les solutions sont les couples (x, y) tels que x est congru à -1 modulo 4 et y vaut  (x^3-23)/4 (qui est bien entier).  

Explications étape par étape

Bonjour,

Merci pour cet exercice. J'ai ajouté ma solution en pièce-jointe

Bonne soirée.