donner l'allure de la courbe de cette fonction f(x)=x³/x²-1 ​

Réponse :

f(x) = x³/(x² - 1)      f est définie sur  R \ {- 1 ; 1}

f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

u = x³  ⇒ u ' = 3 x²

v = x² - 1 ⇒ v' = 2 x

f '(x) = [3 x²(x² - 1) - 2x(x³)]/(x² - 1)²

       = (3 x⁴ - 3 x² - 2 x⁴)/(x² - 1)²

    f '(x) = (x⁴ - 3 x²)/(x² - 1)²  or  (x² - 1)² > 0   donc le signe de f '(x) dépend du signe de  x⁴ - 3 x²

   f '(x) = 0 ⇔ x⁴ - 3 x² = 0  ⇔ x²(x² - 3) = 0   ⇔ x² ≥ 0   ou x²- 3 = 0

⇔ x = √3  ; x = - √3

            x    - ∞                  - √3                  √3                   + ∞  

          f'(x)                +           0          -          0            +

Tableau de variation

      x   - ∞          -√3         - 1            0              1             √3                + ∞    

    f(x)  - ∞ →→→→ -2.6 →→→→ || →→→→  0 →→→→→ || →→→→→→ 2.6 →→→→→→+∞

                  crois                décroissante                                   croissante

f(x) est croissante entre ]- ∞ ; - √3]U[√3 ; + ∞[

f(x) est décroissante  entre [- √3 ; - 1[U]1 ; √3[

x = - 1 et x = 1  sont des asymptotes verticales

Explications étape par étape