La fonction est representée par une parabole qui a pour axe de symétrie la droite d'équation x=-2, De plus cette parabole passe par les points A(-3;0) et B(-1;0

Bonsoir,

La parabole est une représentation graphique d'une fonction f définie par 

[tex]f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta[/tex].

Le sommet de cette parabole admet comme coordonnées [tex](\alpha;\beta)[/tex]
L'axe de symétrie de la parabole d'équation x = -2 passe par le sommet.
D'où [tex]\alpha=-2[/tex]

Par conséquent  [tex]f(x)=a(x-(-2))^2+\beta\\f(x)=a(x+2)^2+\beta[/tex]

Or f(-3) = 0 et f(-1) = 0

[tex]f(-3)=0\Longrightarrow a(-3+2)^2+\beta=0\\\Longrightarrow a(-1)^2+\beta=0\\\Longrightarrow a+\beta=0\\\\\\f(-1)=0\Longrightarrow a(-1+2)^2+\beta=0\\\Longrightarrow a\times1^2+\beta=0\\\Longrightarrow a+\beta=0[/tex]

Les deux conditions se résument par [tex]a+\beta=0\Longleftrightarrow \beta=-a[/tex]

Donc la forme de f(x) sera : [tex]f(x)=a(x+2)^2-a\ \ avec\ \ a\neq0[/tex]

Il y a donc une infinité de fonctions f vérifiant les conditions de l'énoncé.

En pièce jointe, quatre exemple de fonction f.
(avec a = -1 ; a = -0,5 ; a = 1 ; a = 2)