Bonjours je n’arrive pas à faire cet exercice pouvez-vous m’aider s’il vous plaît ?

Bonjour ! ;)

Réponse :

Exercice 27 :

a) f (x) = x³ - 3x² + x - 1

(1) [tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)[/tex] est une forme indéterminée de la forme " ∞ - ∞ " !

Mais sachant que la limite d'un polynôme en l'infini est la même que celle de son terme de plus haut degré, on en déduit que [tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)[/tex] = [tex]\lim_{x \to +\infty} (x^3)[/tex] = + ∞.

(2) [tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)[/tex] = - ∞  puisqu'en effet, [tex]\lim_{x \to -\infty} (x^3)[/tex] = - ∞

                                                                 [tex]\lim_{x \to -\infty} (-3x^2)[/tex] = - ∞

                                                                 [tex]\lim_{x \to -\infty} (x)[/tex] = - ∞

Donc, la somme tend bien vers - ∞ !

b) f (x) = x³ - 3x² + x - 1

⇒ f ' (x) = 3x² - 6x + 1

Résolvons : 3x² - 6x + 1 = 0       ( ici, a = 3 ; b = - 6 et c = 1 ! )

- Calculons tout d'abord le discriminant associé à cette équation :

Δ = b² - 4 * a * c

⇒ Δ = (- 6)² - 4 * 3 * 1

⇒ Δ = 24

- Comme Δ > 0, on en déduit que l'équation admet deux racines réelles distinctes :

x₁ = [tex]\frac{-b-\sqrt{delta} }{2*a}[/tex]             ou          x₂ = [tex]\frac{-b+\sqrt{delta} }{2*a}[/tex]  

⇒ x₁ = [tex]\frac{-(-6)-\sqrt{24} }{2*3}[/tex]       ou          x₂ = [tex]\frac{-(-6)+\sqrt{24} }{2*3}[/tex]

⇒ x₁ = [tex]\frac{3-\sqrt{6} }{3}[/tex]               ou          x₂ = [tex]\frac{3+\sqrt{6} }{3}[/tex]  

Nous pouvons maintenant dresser le tableau de signes de f ' (x) :

Voir pièce jointe ! ;)