Bonjour j’ai besoin d’aide pour cet exercice svp

Réponse :

f(x) = (2 x² + 3 x - 1)/(x² + x - 2)   or  x² + x - 2 ≠ 0  ⇔ (x + 2)(x - 1) ≠ 0

pour que la fonction existe il faut que x ≠ - 2  et x ≠ 0 donc  Df = R\{-2 ; 1}

1) dresser le tableau de signes de f

     f(x) = 0  ⇔ 2 x² + 3 x - 1 = 0

          Δ = 9 + 8 = 17 > 0  on a deux racines distinctes  

         x1 = (- 3+√17)/4 ≈ 0.3

          x2 = (- 3-√17)/4 = - 3.6

         x             - ∞          - 3.6          - 2         0.3            1             + ∞      

 2 x²+ 3 x - 1             +        0     -              -      0       +           +

 x² + x - 2                  +               +      ||      -                -    ||      +

     f(x)                         +       0     -      ||      +       0      -    ||       +

2) donner l'expression de f '(x)

       f '(x) = [(4 x + 3)(x² + x - 2) - (2 x + 1)(2 x² + 3 x - 1)]/(x²+x-2)²

 = (4 x³ + 4 x² - 8 x + 3 x² + 3 x - 6) - (4 x³ + 6 x² - 2 x + 2 x² + 3 x - 1)/D²

 = (4 x³ + 7 x² - 5 x - 6) -(4 x³ + 8 x² + x - 1)/(x²+x-2)²

 = (4 x³ + 7 x² - 5 x - 6 - 4 x³ - 8 x² - x + 1)/(x²+x-2)²  

f '(x) = (- x² - 6 x  - 5)/(x²+x-2)²

3) dresser le tableau de signe de f '(x)

    f '(x) = (- x² - 6 x  - 5)/(x²+x-2)²   or  (x²+ x - 2)² > 0  donc le signe de f '(x) dépend du signe de - x² - 6 x - 5

         Δ = 36 - 20 = 16  ⇒ √16 = 4

      x1 = 6 + 4)/- 2 = - 5

      x2 = 6 - 4)/-2 = - 1

           x      - ∞             - 5                - 1                  + ∞            

         f '(x)               -       0         +       0         -

Explications étape par étape