Bonjour à tous!! Je me demandais si quelqu’un pourrait m’aider avec ce DM... svp

Réponse :

1) à l'aide d'un théorème de géométrie, exprimer OD en fonction de x

OABC est un rectangle, donc (BC) ⊥ (OM) et (OD) ⊥ (OM) ⇒ (BC) // (OD)

donc d'après le th.Thalès on a; MC/MO = BC/OD ⇔ (x - 3)/x = 2/OD

⇔ OD * (x - 3) = 2 x  ⇔ OD = 2 x/(x - 3)

2) en déduire que l'aire du triangle OMD peut-être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle ]3 ; + ∞[  par  g(x) = x²/(x - 3)

l'aire du triangle OMD est  A = 1/2)(OD * OM) = 1/2)( 2 x/(x - 3)* x) = x²/(x-3)

donc g(x) = x²/(x - 3)

3) étudier les variations de g sur ]3 ; + ∞[ et conclure

    la dérivée de la fonction g  est g '(x) = [2 x(x - 3) - x²]/(x - 3)²

g '(x) = (2 x² - 6 x - x²)/(x - 3)² = (x² - 6 x)/(x - 3)

or (x - 3)² > 0  donc g '(x) = 0 ⇔ x² - 6 x = 0 ⇔ x(x - 6) = 0  ⇔ x = 0 ∉]3 ; +∞[ donc il y a une seule solution  x = 6  appartenant à l'intervalle ]3;+∞[

    x        3                            6                          + ∞

   g(x)  + ∞ →→→→→→→→→→→ 12 →→→→→→→→→→→ + ∞

                    décroissante          croissante

 répondre au problème posé : donc pour x = 6 m ; on obtient une surface minimale du triangle OMD  de 12 m²

Explications étape par étape