s'il vous plaît je souhaiterais avoir votre aide pour résoudre ce problème, les notions d'involution et transvection me sont toujours étrangères et je trouve so

s'il vous plaît je souhaiterais avoir votre aide pour résoudre ce problème, les notions d'involution et transvection me sont toujours étrangères et je trouve souvent du mal à gérer des problèmes qui impliquent ces notions.merci beaucoup à vous. (pour ce problème j'avais déjà démontrer que E = E 1 (U) ⊕ E −1 (U))

-Soit U une involution de E, c’est à dire U ∈ L (E) et U² = id E . On pose [tex]E_{1}[/tex](U) = Ker(U − id E ) et [tex]E_{-1}[/tex]U) = Ker(U + id E ). Dans cette question, on suppose que dim([tex]E_{1}[/tex] (U)) = 1.
A) Soit a ∈ E tel que [tex]E_{1}[/tex](U) = R .a. Montrer qu’il existe φ ∈ L (E, R ) une forme linéaire de E telle que Ker(φ) = [tex]E_{-1}[/tex](U) et φ(a) = 2. B) En déduire qu’il existe a ∈ E et φ ∈ L (E, R ) tels que ∀x ∈ E, U(x) = −x + φ(x).a. C) Soit V une autre involution de E telle que [tex]E_{1}[/tex](U) = E[tex]E_{1}[/tex](V). *Montrer qu’il existe ψ ∈ L (E, R ) telle que ∀x ∈ E, V(x) = −x + ψ(x).a. *En déduire que U ◦ V est une transvection.