Bonjour à tous. J'aimerais savoir comment prouver que la relation d'équivalence congruence modulo n de Z est compatible avec l'addition et la multiplication des

Bonjour,

Il suffit de revenir à la définition : [tex]a \equiv b \pmod n \iff \exists k \in \mathbb{Z},a=b+k \cdot n[/tex].

- Supposons [tex]a \equiv b \pmod n[/tex] et [tex]c \equiv d \pmod n[/tex] et montrons : [tex]a+c \equiv b+d \pmod n[/tex].

On a par hypothèse : [tex]\exists k,k', a=b+k \cdot n \text{ et } c=d+k' \cdot n[/tex].

Ainsi, par somme :

[tex]a+c=(b+d)+\underset{\in \mathbb{Z}}{\underbrace{(k+k')}}\cdot n[/tex]

d'où : [tex]a+c \equiv b+d \pmod n[/tex].

- Supposons maintenant [tex]a \equiv b \pmod n[/tex] et [tex]c \equiv d \pmod n[/tex] et montrons [tex]ac \equiv bd \pmod n[/tex].

On a par hypothèse : [tex]\exists k,k', a=b+k \cdot n \text{ et } c=d+k' \cdot n[/tex].

Par produit : [tex]ac=(b+k \cdot n)(d+k' \cdot n)=bd+(bk'+dk+kk') \cdot n[/tex].

Or, tous les termes considérés sont entiers, donc [tex]bk'+dk+kk' \in \mathbb{Z}[/tex].

Ainsi : [tex]\boxed{ac \equiv bd \pmod n}[/tex].

Rq : Attention ! Si les termes considérés ne sont pas entiers mais réels, le résultat sur la mutiplication ne subsiste plus. On aura :

[tex]\forall \lambda \in \mathbb{R^*}, a \equiv b \pmod n \Rightarrow \lambda a \equiv \lambda b \pmod {\lambda n}[/tex].