Bonjour, j’ai une question de la probabilité: La probabilité de tirer une boule verte d’une urne est 3/4. Combien de fois doit-on tirer une boule, en la remetta

Réponse : Bonjour,

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de boules vertes tirées, pour n tirages.

Alors X suit la loi binomiale de paramètres n et [tex]p=\frac{3}{4}[/tex].

La probabilité d'avoir au moins une boule verte est [tex]P(X \geq 1)[/tex], et:

[tex]\displaystyle P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{0} \times \left(\frac{1}{4}\right)^{n}=1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}[/tex]

On cherche donc n tel que:

[tex]\displaystyle 1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n} > 0,999\\\left(\frac{1}{4}\right)^{n} < 0,001\\ e^{n \ln(\frac{1}{4})} < 0,001\\ \ln(e^{n \ln(\frac{1}{4})}) < \ln(0,001)\\n \ln\left(\frac{1}{4}\right) < \ln(0,001)\\ n > -\frac{\ln(0,001)}{\ln(4)} \approx 4,98[/tex]

On doit donc tirer 5 fois une boule, pour que la probabilité d'avoir au moins une boue verte soit supérieure à 99,9%.