Bonjour pouvez vous m’aider a faire cet exercice svp

Réponse :

1) les points D ; E et F semblent être alignés

2) a) quelle est la nature de ce repère (A ; B ; D)

      c'est un repère orthonormé  car (AB) ⊥ (AD)  et ||AB|| = ||AD|| car ABCD est un carré

    b) donner sans justifier les coordonnées des points A; B et D

          A(0 ; 0)

          B(1 ; 0)

          D(0 ; 1)

3)  a) où se trouve le point K sur le segment (AB) ? Justifier

           le point  K se trouve au milieu du segment (AB); car E K est la médiatrice du segment (AB)

      b) en déduire les coordonnées du point K

               K(1/2 ; 0)

      c) montrer que EK = √3/2

         EKB triangle rectangle en K, donc d'après le th.Pythagore

            EK² = EB² - KB² = 1 - (1/2)²  = 1 - 1/4 = 4/4  - 1/4 = 3/4

       donc  EK = √(3/4) = (√3)/2  

       d) en déduire les coordonnées du point E

                E(1/2 ; √3/2)

4) démontrer la conjecture émise à la question 1

    les vecteurs DE et EF sont colinéaires ssi X'Y - Y'X = 0

vec(DE) = (1/2 ; √3/2  - 1) = (1/2 ; (√3 - 2)/2)

vec(EF) = ((2+√3)/2 - 1/2 ; 1/2 - √3/2) = (1+√3)/2 ; (1 - √3)/2)

X'Y - Y'X = 0  ⇔ (1+√3)/2 *(√3 - 2)/2 - (1 - √3)/2 * 1/2

⇔ (√3 - 2 + 3 - 2√3)/4  - (1 - √3)/4  

⇔ (1 - √3)/4 - (1 - √3)/4 = 0 ; donc les vecteurs DE et EF sont colinéaires ; on en déduit donc que les points D ; E et F sont alignés  

Explications étape par étape

Réponse :

Explications étape par étape

■ conjecture = DEF alignés !

■ repère orthonormé car on part d' un carré !

A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; D(0 ; 1)

■ K = milieu [AB] car ABE triangle équilatéral

abscisse de E = abscisse de K = 0,5

Pythagore dit : EK² + 0,5² = 1²

EK² + 0,25 = 1

EK² = 0,75 = 3/4

EK = √3 / 2 = 0,5√3

donc l' ordonnée de E est √3 / 2 .

■ équation de la droite (DE) ?

coeff directeur = (yD-yE) / (xD-xE)

= (1 - 0,5√3) / (-0,5)

= √3 - 2

y = (√3 - 2)x + b devient 1 = b

conclusion : (DE) y = (√3 - 2)x + 1 .

■ remplaçons y par 0,5 :

(√3 - 2) x = -0,5

x = 0,5 / (2 - √3)

x = 0,5 (2 + √3) / 1

x = 1 + 0,5√3

on retrouve bien l' abscisse du point F

conclusion : DEF sont bien alignés !